英語日記の完成版
My daughter started not to want to go to the daycare.
She is still too young to express it in words now, but I can see that she will begin to complaining and throw a tantrum soon after learning how to talk.
英語の添削
1行目
...doesn't want to go to the daicareとtoを入れる必要があります
また、2行目の中に「またつぶやく程度」のようにはっきり言っているわけではない感じの内容がありましたので、
started not to want to go to the daycare（行きたがらない、行き渋りを始めた）のような形にしました
2行目
mumbleは「（言葉はちゃんと話せるけれど）口の中でつぶやいて、はっきり口を動かさない」
のような感じなので、「話せるが、話し方が悪い、非常に聞き取りづらい」のような感じなので、
例えば、What are you mumbling about? I can't hear you.（何をぶつぶつ言ってるの？聞こえないんだけど）
のような形でとても使われるように思います
又は、おまじないやお祈りの言葉を口の中で唱えているような感じでも使う事ができます
この場合はおそらく、「まだはっきりとした言葉にできない」のような感じのように思いますので、
She is still too young to express it in words（まだ小さいので、はっきりとした言葉・文で行きたくないと表す事はできませんが）
のような形にしました
「まだつぶやく程度」という意味の言葉を使いたいという場合は例えば、
She can't express it in proper words because she is still learning how to talk.のような感じで、
leaning how to talk（まだ片言を話している状態）という言葉で「まだつぶやく程度」のような様子を表わす事ができるように思います
また、後半のI suppose that she throw a tantrum.の部分は、まず、sheなのでthrowsとsの入った形になりますが、
ただ、この場合にthat she throws a tantrumとしてしまうと、
「私は彼女が駄々をこねる（こねている）と思います」のような感じで少し伝わりづらくなってしまうように思いますので、
少し変えさせていただきました
英文の採点
1行目:3
2行目:2
提出した英文・英訳
My daughter started to say that she doesn’t want to go the daycare.
She still only mumbles the word now, but in a bit, I suppose that she throw a tantrum.
娘が保育園に行きたくないと言い始めた。
いまはまだ少し言葉をつぶやく程度だが、もう少ししたら、駄々をこねると思う。