英語日記の完成版
I don't consider myself a man of culture.
I don't even know the difference between temple and shrine.
I've never had a problem with that, but I want to teach my daughter those things.
That's why I'm going to start learning culture.
英語の添削
1行目
triviaは日本語の雑学の感じよりも更にもっと「本当にどうでもよい事、役に立たない事、くだらない豆知識」という意味が強いので、
この場合にお寺と神社について「役に立たない、つまらない事、知らなくてもよい事」のような形で言ってしまうのは、
少し誤解を生じてしまったり、後の部分の娘に教えたい（くだらない事を教えたい？）の部分とのつながり
などの部分で少し伝わりづらいように思いますので、cultureという言葉にしました
この場合のcultureは「文化」ではなく、「一般的な知識、教養」のような意味なので、
man of cultureで「知識の豊富な人、教養のある人」のような形になります
I don't consider myself a man of culture.（私は自分が知識豊富な人間だとは思いません）のような形に少し変えさせていただきました
2行目
a temple and a shrineとしてしまうと、「一つとお寺と一つの神社」なので、
「このお寺とこの神社」のように比べるものが限定されてしまうように思います
この場合は一般的に全国にある、あちこちにある、お寺・神社を総称しているので、
何も付けずにtemple and shrineとする必要があります
（または、複数形でtemples and shrinesでもよいと思います）
3行目
problem about thatの部分は、problem with thatと withの形にする必要があります
また、「娘に教えたい」という部分では「何を教えたい」に当たる部分がないと少し伝わりづらくなってしまうように思いますので、
I want teach my daughter those things（そういった知識を娘に教えたい）
という形にして、長くなってしまいますので後半の部分は新たに4行目として少し変えさせていただきました
新4行目
「なので、勉強しよう」という部分を4行目として少し変えさせていただきました
I'll learnだけですと、勉強しようというよりも、
例えば、He learns fast.（彼は頭が良い）
ような感じで「（頭の回転がよい、暗気力が優れているなどで）何かを習い覚える事が速い」
のように、「勉強する」とは少し違った感じになってしまうように思いますので、
I'm going to start learning(I'll start learn) culture.
（文化について勉強しようと思います）
のような感じにしました
cultureの部分は、この場合はお寺の話題だったため文化という形でcultureとしましたが、
例えばgeneral knowledge（一般的な知識）などでも良いと思います
英文の採点
1行目:2
2行目:3
3行目:2
提出した英文・英訳
I don't know much about trivia.
I don't even know the difference between a shrine and a temple.
I've never had a problem about that, but I want to teach my daughter, so I'll learn.
私は雑学をあまり知らない。
神社とお寺の違いも知らない。
今まで困らなかったが、娘に教えたいので勉強しよう。