英語日記の完成版
My daughter somehow didn’t say “No” to me, and we were able to have fun together after so long yesterday.
I was so glad about it, and it brought a few tears of relief to my eyes.
英語の添削
1行目
「遊んでくれる（遊んであげる）」の「くれる（あげる）」という部分は、英語にすることが少し難しいと思いますが、
「娘が遊んでくれない」という場合にはMy daughter doesn't play with me（私と遊ばない）ではなく、
My daughter won't(will not) play with me（娘が遊ぼうとすることはない=遊ぼうとしない=遊んでくれない）
のような形の方が合っているように思いますので、
この場合も直接的に
My daughter had fun playing（娘が楽しく遊びました）というだけよりも、
少し形を変えると伝わりやすくなるように思いますので、全体的に少し変えさえていただきました
この場合の「（遊んで）くれる（あげる）」の言葉だけを英語にしてしまうと、play together for meのようになってしまい、
少し不思議な感じになってしまうので、少し言い方を変えて、
My daughter somehow didn't say "No" to me（娘がどういうわけか、私にイヤイヤを言わなかった）のような形にして、
後半の部分で、
and we were able to have fun together after so long (yesterday).
（なので、久しぶりに一緒に楽しく遊ぶことができました）のような形にしました
yesterdayはとりあえずの形で付けましたが、他の言葉や、無しでも良いと思います
2行目
このままでも意味が伝わると思いますので、少し違った形のご紹介ということで少し変えさえていただきました
I was so glad about it, （とてもホッとしました）としましたが、
I'm(I was) gladは「嬉しい」という言葉だけになりがちですが、そこには「（安堵を感じて）幸せ、嬉しい」という
安心する気持ちも入っているので、この場合でも「ホッとする」という気持ちを伝える事ができるように思います
また、後半に
and it even brought a few tears of relief to my eyes.
（（その安心は）安堵の涙を私の目にもたらす事さえしました=（ホッとして）少し涙も出てしまいました）
のような形にしました
英文の採点
1行目:3
2行目:4
提出した英文・英訳
My daughter had fun playing with me for the first time in a few days.
I was so relieved and cried a little.
娘が数日ぶりに私と楽しく遊んでくれた。
私はホッとして少し涙が出た。